Programátorská sociální síť a materiálová základna pro C#, Java, PHP, HTML, CSS, JavaScript a další.

Přihlásit se Registrace  

Úvod do fraktálů a chaosu

Zpět do sekce Matematické algoritmy

Eukleidovská geometrie, která se učí na školách je vlastně naprosto primitivní. Učí nás pár vzorečků pro nemnoho objektů či tvarů a je už jedno kolika rozměrných. Každý si dovede představit krychli, kruh, čtverec a případně je i nakreslit a dokonce narýsovat. Staří Řekové jí popsali Platónský svět idejí, statický a vlastnící oněch ubohých pár tvarů. Přesto tvrdili, že se tak dá popsat celý svět. Podobné tendence zaznamenáváme za těch 2500 let (páni to to letí…) i v umění (obrazy, hudba- zejména v baroku a klasicismu a to přesto, že vyjádřit míru determinismu v hudbě je velice těžký úkol) a obecně ideálem krásy se většinou stane maximálně mírně nesymetrický eukleidovský objekt. Podívejte se ale tak 20 cm nad monitor. Co vidíte? To je celkem jedno, ale pokud se díváte třeba z okna třeba skrz záclony, zkuste si je popsat jako soustavu půlválců a křivek (např. beziérových). Patrně se vám to nikdy nepodaří s naprosto přesně. Když totiž budete zjemňovat měřítko, uvidíte další a další podrobnosti (např. otřepy na nitích). Musíte se spokojit s aproximací, která je ovšem ztrátová.  Nakonec se ukazuje, že v přírodě je velice těžké na každém kroku nenarazit na fraktální útvar. K popisu těchto útvarů se používá fraktální geometrie, bez níž by některé přírodní úkazy, útvary byly nepochopitelné (např. turbulence). Fraktály mají ovšem širší využití. Predikce (předpověď) počasí je toho nejlepším dokladem. Dále predikce v oblasti přírodě na hony vzdálené, a to v oblasti ekonomiky. Mohli bychom jmenovat další a další obory, ale pak by se vám stránka nenačetla do pár hodin.

Svítání chaosu

Začněme v devatenáctém století. Tehdy se objevila práce pokoušející se popsat soustavu tří hmotných bodů o přibližně stejné hmotnosti. Bylo dokázáno že analitycké řešení neexistuje! Děje v této soustavě nemůžeme předpovědět, je chaotická. Nejblíže se to dá ověřit v pásu asteroidů mezi Marsem a Jupiterem, zvoňte na soustavu Trojané. O další nesmělé výkřiky se postarali během první světové války Gaston Julia a Pierre Fatou při zkoumání rovnice z=z2+c kde z i c jsou komplexní čísla, z představuje souřadnice vykreslovaného bodu a c je konstanta. Pro výpočet se používá time escape algorithm. Zvolíme si konstantu c, reprezentující množinu (těch tedy nekonečně mnoho) a pro každý bod z iterativně zkoušíme, zda konverguje. Pokud ano, do množiny nepatří a pro názornost mu přidělíme příslušnou barvu. Pokud vydrží i do maximálního počtu iterací do množiny patří. Podrobněji budou proprány dále v textu. Další, už docela sebevědomý výkřik spáchal na přelomu padesátých a šedesátých let Edvard Lorenz. Tento matematik se zajímal o počasí a pokoušel se vymyslet rovnice popisující chování atmosféry. Měl to štěstí, že mohl pracovat s počítačem. Přestože Lorenz počítal se silně zjednodušenými modely, počítač pracoval jen velmi pomalu. Když to Lorenze přestalo bavit, zkrátil si čas tím, že vykreslil jen polovinu grafu. Když jej pak srovnal s již dříve spočítaným grafem, zjistil, že se po chvíli stále více rozcházejí. Nejprve nařknul počítač ze lhaní (nebo snad chyby?), ale po opakovaném výpočtu zjistil, že počítač nelže. Původní graf byl totiž počítán s přesností na 8 desetinných míst, poloviční jen na 6.

Lorenz se neomezoval jen na počasí. Pokoušel se popsat i chování vodního kola. Na obyčejném kole jsou zavěšeny nádoby, do kterých shora přitéká a děravým dnem odtéká voda. Jak se bude takové systém chovat? Lorenz předpokládal, že se bude buď točit na jednu stranu, nebo periodicky měnit směr otáčení. Na obrazovce počítače se vykraslila křivka ve 3D, která se ale nikde neprotla. Nestalo se tedy ani jedno, kolo se chová chaoticky. Je to tedy první popsaný chaotický systém. Jeho atraktor je rovněž první nalezený podivný atraktor a je také fraktálem. To Lorenz ještě nevěděl, ale dnes je symbol, který najdete snad ve všech publikacích zabývajícími se chaosem.

Začněme v devatenáctém století. Tehdy se objevila práce pokoušející se popsat soustavu tří hmotných bodů o přibližně stejné hmotnosti. Bylo dokázáno že analitycké řešení neexistuje! Děje v této soustavě nemůžeme předpovědět, je chaotická. Nejblíže se to dá ověřit v pásu asteroidů mezi Marsem a Jupiterem, zvoňte na soustavu Trojané. O další nesmělé výkřiky se postarali během první světové války Gaston Julia a Pierre Fatou při zkoumání rovnice z=z2+c kde z i c jsou komplexní čísla, z představuje souřadnice vykreslovaného bodu a c je konstanta. Pro výpočet se používá time escape algorithm. Zvolíme si konstantu c, reprezentující množinu (těch tedy nekonečně mnoho) a pro každý bod z iterativně zkoušíme, zda konverguje. Pokud ano, do množiny nepatří a pro názornost mu přidělíme příslušnou barvu. Pokud vydrží i do maximálního počtu iterací do množiny patří. Podrobněji budou proprány dále v textu. Další, už docela sebevědomý výkřik spáchal na přelomu padesátých a šedesátých let Edvard Lorenz. Tento matematik se zajímal o počasí a pokoušel se vymyslet rovnice popisující chování atmosféry. Měl to štěstí, že mohl pracovat s počítačem. Přestože Lorenz počítal se silně zjednodušenými modely, počítač pracoval jen velmi pomalu. Když to Lorenze přestalo bavit, zkrátil si čas tím, že vykreslil jen polovinu grafu. Když jej pak srovnal s již dříve spočítaným grafem, zjistil, že se po chvíli stále více rozcházejí. Nejprve nařknul počítač ze lhaní (nebo snad chyby?), ale po opakovaném výpočtu zjistil, že počítač nelže. Původní graf byl totiž počítán s přesností na 8 desetinných míst, poloviční jen na 6.
Lorenz se neomezoval jen na počasí. Pokoušel se popsat i chování vodního kola. Na obyčejném kole jsou zavěšeny nádoby, do kterých shora přitéká a děravým dnem odtéká voda. Jak se bude takové systém chovat? Lorenz předpokládal, že se bude buď točit na jednu stranu, nebo periodicky měnit směr otáčení. Na obrazovce počítače se vykraslila křivka ve 3D, která se ale nikde neprotla. Nestalo se tedy ani jedno, kolo se chová chaoticky. Je to tedy první popsaný chaotický systém. Jeho atraktor je rovněž první nalezený podivný atraktor a je také fraktálem. To Lorenz ještě nevěděl, ale dnes je symbol, který najdete snad ve všech publikacích zabývajícími se chaosem.

Zrod "chaotické" vědy

Předchozí práce byly zajisté průlomové, nicméně většina vědců je buď odsoudila a nebo se jimi vůbec nezajímala. Benoit Mandelbrot tak jen náhodou narazil na zapadlou práci Gastona Julia a Pierre Fatou. Zaujala ho a chtěl všechny množiny sjednotit. Vraťme se ale k jeho osobě. Tento velice ctižádostivý a sebevědomý vědec se narodil roku 1924 ve Varšavě, ale v roce 1936 se přestěhoval do Paříže a později do Tully. Studoval na École Normale a École Politechnique. Pracoval u IBM, kde se poprvé setkal s fraktály při studiu vývoje cen bavlny či při problému odstraňování šumu při datových přenosech. Cena bavlny byla sice nepředvídatelná, ale stejná posloupnost změn se dala vysledovat v různých měřítkách. Podobný problém odhalil i při sledování poruch na telekomunikačních linkách. Proslavil se ale až díky jeho, Mandelbrotově množině. Ke své práci už měl daleko rychlejší počítač, ale kreslení M. množiny je časově nárožné. První černobílé obrázky se objevovaly velice pomalu, ale nastartovaly novou vědní disciplínu, která se vyvíjela(í) velice chaoticky a bouřlivě. M-set (anglické jméno) bude podrobně diskutována dále v textu.


 

Článek pro vás napsal Tomáš Sixta
Avatar
Jméno jeho jest Tomáš Sixta. Narodil se v roce 1987 krátce po výbuchu Černobylu v Kolíně u Veltrub. Vystudoval Základní školu ve Veltrubech a nyní studuje na gymnáziu Kolín.

Jak se vám líbí článek?
Ještě nikdo nehodnotil, buď první!


 


Předchozí článek
Výpočet libovolné odmocniny Newtonovou metodou
Všechny články v sekci
Matematické algoritmy
Matematické algoritmy jako libovolné (n-té) mocniny a odmocniny, faktoriál nebo převody mezi číselnými soustavami a další funkce včetně zdrojových kódů
Další článek
Obecná teorie a dělení fraktálů
Dělení fraktálů na L-Systémy (fraktální křivky), IFS, polynomické a náhodné. Vysvětlení obecné teorie a pojmů soběpodobnost a soběpříbuznost.


 

 

Vaše komentáře:

 

Zatím nikdo nevložil komentář - buď první!


Přidat novou zprávu

Děláme co je v našich silách, aby byly zdejší diskuze co nejkvalitnější. Proto do nich také mohou přispívat pouze registrovaní členové. Pro zapojení do diskuze se přihlaš. Pokud ještě nemáš účet, zaregistruj se, je to zdarma.